1+2+3+4+5+････････＝－1/12になる理由

$\LARGE 1+2+3+4+5+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \infty =- \frac{1}{12}$

この式は不思議な式です。

私がこの式を初めて見たとき当然答えは、無限だと思いました。

-1/12になるなんて考えられませんでした。

では、どうして-1/12になるのか？見て行きましょう。

$\LARGE 1+x^{1}+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdot \cdot \cdot \cdot = \frac{1}{1-x}$

になります。これは高校数学で出てきました。

$\xi \left ( s \right )= 1+\frac{1}{^{^{x^2}}}+\frac{1}{^{^{x^3}}}+\frac{1}{^{^{x^4}}}+\frac{1}{^{^{x^5}}}\cdot \cdot \cd\ \cdot \varphi \left ( s \right )= 1-\frac{1}{^{^{x^2}}}+\frac{1}{^{^{x^3}}}-\frac{1}{^{^{x^4}}}+\frac{1}{^{^{x^5}}}\cdot \cdot \cdot$

$\zeta \left ( s \right )-\varphi \left ( s \right )= 2\times\left \{ \left ( \frac{1}{2^s} \right ) \left +\left ( \frac{1}{4^s} \right )\ +\left ( \frac{1}{6^s} \right )+\left ( \frac{1}{8^s} \right )+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \right \} \right$

$= 2\times \left \frac{1}{2^s} \left \{ }{ \left ( 1+\left ( \frac{1}{2^s} \right )+\left ( \frac{1}{3^s} \right )+\left ( \frac{1}{4^s} \right )+\left ( \frac{1}{5^s} \right )+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \right \}$

$=2\times \frac{1}{2^s}\left \{ \zeta \left ( s \right ) \right \}$

$\varphi \left ( -1 \right )=-3\zeta \left ( -1 \right )$ 　になります。高校数学で出て来た式を二乗すると

$1+2x+3x^2+4x^2+5x^2+\cdot \cdot \cdot \cdot = \frac{1}{\left ( 1-x \right )^2}$

この式に-1を代入すると

$\varphi \left ( -1 \right )= -3$ 　つまり

$\zeta \left ( -1 \right )= 1+2+3+4+5+6\cdot \cdot \cdot \cdot =- \frac{1}{12}$

注意事項）高校で出てくる等比数列の収束範囲は-１＜ｘ＜１であり本文の記述には誤りがある。しかしながら、ゼーター関数での収束域はRE(S)>1であり収束範囲に注意をする必要があり、また、ここにこそ解析接続の価値がでる。尚もちろん無限も1+2+3+4+5+・・・の答えであり、これは物理で現れる発散の問題における組み込み理論であると考えると面白い。

また、ゼーター関数の中の＆記号のは意味はない。消すことができませんでした。すみません。