2015-01-20

「100年の難問はなぜ解けたのか？」を読んで

もちろん、ポアンカレ予想の話です。

これは、ペレルマンを取材したNHKの記者による本です。

出足は、ペレルマンの研究生活がどのようなものであったかを書かれています。

　次にポアンカレについて書かれてあり、彼は絵を描くのが非常にへたであった、そのあたりも、トポロジーにつながったのではと書かれてあるところが面白かったです。

　ポアンカレ予想の大きな意味は、トポロジーの発展に寄与した事と、宇宙の形が丸いと言う事を証明した事にあります。現代最先端の宇宙測定では、宇宙は平坦である事になりますが？全体を見たわけではありません。

そして、ポアンカレ予想は、どうして困難なのか？が書かれています。それは、ヒモを原点に引きも出した時にもつれるだそうです。ところが、これを高次元にもっていけば

もつれないですよね？平面に二本のヒモをおいて、交差かさねておきます。その一方のヒモを持ち上げると高さがあるので、二本のヒモは交わらなくなります。

これが、高次元のポアンカレ予想が解けて低次元のポアンカレ予想が解けなかった理由です。

リッチフローも熱伝導方程式の熱のとことを、曲率に変えただけです。

熱が伝わる様子のところを、曲率、空間が曲がる様子に変えたのです。

三次元のパズルのピースは８個あることをサーストンは証明しました。（幾何化予想）

この複雑な形のピースは、リッチフローを使う事によって、より分かりやすい形に変える事ができます。丸いピース以外ヒモは回収できない。したがって、幾何化予想が正しくヒモが回収できるのなら、宇宙は丸いことになります。

（他のピースはどうなるのだろう？わからないです。）

　ハミルトンが悩んだのは、特異点があったからです。

ところが、ペレルマンの専門は特異点だったのです。リッチフローによって、特異点が、破れる？破壊する？前に時間をもどしてつぶれてしまう前に解析してしまうと言う手段を講じたのです。

ペレルマンは、数学オリンピックで最高得点をとりました。にもかかわらず、

人に聞かれても、オリンピックに参加したとしか言いません。普通の人なら、最高得点取ったんだと、得意げに言うでしょう？

日本の数学者の間違いを指摘して解き方まで教えてあげるのに、日本の数学者がお礼を言うと、これは、私のオリジナルでない！人の考えを発展させただけだと不機嫌になったらしいです。

このあたりも、ペレルマンが表れていると思います。とにかく面白くって一気に読んでしまいました。お勧めです。。。（＾＿＾）

2014-12-09

二項関係を用いた-1/12の求め方

今まで、式変形、積分表示による-1/12を求めてきたが、関数等式での方法がある。それに、つけて二項関係を用いた-1/12を求めてみよう。

$\delta \left ( s \right )= 1+\sum_{n=1 }^{\infty }x^{-s}\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{-s}$

$\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{-s}= \sum_{k=0}^{\infty }\left \binom{-s}{k}n^{-k}$

$\zeta \left ( s \right )= 1+\sum_{n=-1}^{\infty }n^{-s}\sum_{n=1}^{\infty }\binom{-s}{k}n^{-k}$

$\zeta \left ( s \right )= 1+\sum_{k=0}^{\infty }\binom{-s}{k}\sum_{n=1}^{\infty }n^{-s-k}$

$\zeta \left ( -s \right )= 1+\sum_{k=0}^{\infty }\binom{-s}{k}\zeta \left ( s+k \right )$

ここで、ｋ＝0とｋ＝1だけを取り出す。

$\zeta \left ( s \right )= 1+\zeta \left ( s \right )-s\zeta \left ( s+1 \right )+\sum_{k=2}^{\infty }\binom{-s}{k}\zeta \left ( s+k \right )$

両辺からゼーター(s)を引き、ゼーター（ｓ+1）について解く $\zeta \left (s+1 \right )= \frac{1}{s}+\frac{1}{s}\sum_{k=2}^{\infty }\binom{s}{k}\zeta \left ( s+k \right )$

sをs-1に置き換えて

$\zeta \left ( s \right )= \frac{1}{s-1}+\frac{s}{2}\zeta \left ( s+2 \right )-\frac{(s+1)(s+2)}{6}\zeta \left ( s+2 \right )$

その後、式変形を加えて $\zeta \left ( s \right )= 1+\frac{2^{1-s}}{s-1}+\frac{s}{2}\left ( \zeta \left ( s+1 \right )-1 \right )-\frac{s(s+1)}{6}\left ( \zeta \left ( s+2 \right )-1 \right )\cdot \cdot \cdot \cdot$

ここで

$\lim_{s=1}\left ( s-1 \right )\zeta \left ( s \right )= 1\rightarrow \left ( a \right )$

$\zeta \left ( 0 \right )= 1-2+\frac{1}{2}= -\frac{1}{2}\rightarrow\left ( b \right )$

(a) (b) を用いて

$\zeta \left ( -1 \right )= 1-\frac{4}{-2}-\frac{1}{2}\left\left ( -(\frac{1}{2}) \right-1 \right )-\frac{-1}{6}= -\frac{1}{12}$

このゼーター関数の特殊値は、弦理論の次元決定、カシミール効果における次元との関わり、原子核のエネルギー遷移などと関係しそのように見ると物理学者も目が離せなくなる。

2014-11-08

ゼーター関数が-1/12になる、積分表示による求め方

$\Gamma \left ( s \right )= \int_{0}^{\infty }{t^\left ( s-1 \right )}{e^\left ( -1 \right )}dt$

この式（ガンマ関数オイラーが発見する。）を式変形します。

$\int_{0}^{\infty }t^{s-1}e^{-nt}dt= n^{-s}\int_{0}^{\infty }\left ( nt \right )^se^{-nt}\frac{dt}{t}= n^{-s}\int_{0}^{\infty }\tau ^{-s}e^{-\tau }\frac{d\tau }{\tau }$

$=n ^{-s}\Gamma \left ( s \right )$

ここでnに1から無限までたせばゼーター関数になる事が分かります。

また、第三式は　タウ＝ntで変数変換している。みごとである。

$\int_{0}^{\infty }t^{s-1}\left\left ( \sum_{n=1}^{\infty }e ^{-nt} \right )dt=\left\left ( \sum_{n=1}^{\infty }n ^{-s} \right )\Gamma \left ( s \right )$

つまり

$\int_{0}^{\infty }\frac{t^s-1}{e^t-1}dt= \xi \left ( s \right )\Gamma \left ( s \right )$

ここで解析接続を行う。そしてベルヌイ数に書き換えてやる。なんと巧みな $\delta \left ( s \right )= \frac{1}{\Gamma \left ( s \right )}\int_{1}^{\infty }\frac{{t^{s-1}}}{e^t-1}dt+\frac{1}{\Gamma \left ( s \right )}\int_{0}^{1}t^{s-2}\frac{t}{{e^{t}}-1}dt$

$=\frac{1}{\Gamma \left ( s \right )} \int_{1}^{\infty }\frac{t^{s-1}}{e^{x}-1}dt+\frac{1}{\Gamma \left ( s \right )}\int_{0}^{1}t^{s-2}\left ( \sum_{k=0}^{K} \frac{B_{k}}{k!} \right )dt+\frac{1}{\Gamma \left ( s \right )}\int_{0}^{1}t^{s-2}\left (\frac{t}{e^{x}-1}- \sum_{k=0}^{K} \frac{B_{k}}{k!} \right )dt$

ここでガンマ関数の性質を使って、書き砕いてみる。すみませんここは端をおる。 $I_{1}= \int_{1}^{\infty }\frac{t^{s-1}}{e^{t}-1}dt$

$I_{2}\left&space;(&space;S&space;\right&space;)= \int_{0}^{1}t^{s-2}\left ( \sum_{k=0}^{K} \frac{B_{k}}{}{k!}t^k \right )dt= \sum_{k=0}^{K}\frac{B_{k}}{k!(s+k-1)}$

$\int_{0}^{1}t^{s-2}t^{k}dt= \left [ \frac{t^{s+k-1}}{s+k-1} \right ]_{0}^{1}= \frac{1}{s+k-1}$

に注意すること

$I_{3}\left ( S \right )= \int_{0}^{1}t^{s-2}\left ( \frac{t}{e^{t}-1}-\sum_{k=0}^{K}\frac{B_{k}}{k!}t^{k} \right )dt$

ここでI1とI2はI3(S)と同様にｓの関数で、Rec(s)>-Kにおいて正則な関数である。これは、ベルネイ数を用いて、解析接続した結果である。したがって、

$\delta \left ( s \right )= \frac{I_{1}\left (s \right )+I_{2}\left ( s \right )+I_{3}\left ( s \right )}{\Gamma \left ( s \right )}$

たとえばＫ＝4とすると

$I_{2}\left ( S \right )= \frac{B_{0}}{ s-1 \right )}+\frac{B_{1}}{s}+\frac{B_{2}}{2\left ( S+1 \right )}+\frac{B_{4}}{24\left ( S+3 \right )}$

$= \frac{1}{s-1}-\frac{1}{2s}+\frac{1}{12\left ( s+1 \right )}-\frac{1}{720\left ( s+3 \right )}$

$\frac{I_{2}\left ( s \right )}{\Gamma \left ( s \right )}= \frac{1}{\left ( s-1 \right )\Gamma \left ( s \right )}-\frac{\left ( s+1 \right )\left ( s+2 \right )\left ( s+3 \right )}{2\Gamma \left ( s+1 \right )}+\frac{s\left ( s+2 \right )\left ( s+3 \right )}{12\Gamma \left ( s+4 \right )}-\frac{s\left ( s+1 \right )\left ( s+2 \right )}{720\Gamma \left ( s+4 \right )}$

s=-1で1/Γ（ｓ）がゼロになるのを使うと

$\delta \left ( -1 \right )= \frac{\left ( -1 \right )\cdot 1\cdot 2}{12\Gamma \left ( 3 \right )}= -\frac{1}{12}$

注意　Rec(s)>＞-Kについては、-Ｋ＜RECなら発散する。Γ（ｓ）の細かな計算は、読者にまかせる。以上で、積分表示による、解析接続されたゼーター関数の計算を終わります。ベルヌイ数によるみごとな式変形と収束域が広がったのを感じとってもらいたい。

これの点訳を試みる。また、この式の巧妙さと解析接続の不思議を感じる。

-Ｋ＜REC(s)なら発散するは無限和からKまでを引いたと考えればわかる。

2014-10-25

1+2+3+4+5+････････＝－1/12になる理由

$\LARGE 1+2+3+4+5+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \infty =- \frac{1}{12}$

この式は不思議な式です。

私がこの式を初めて見たとき当然答えは、無限だと思いました。

-1/12になるなんて考えられませんでした。

では、どうして-1/12になるのか？見て行きましょう。

$\LARGE \chi < 1$ 　の時

$\LARGE 1+x^{1}+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdot \cdot \cdot \cdot = \frac{1}{1-x}$

になります。これは高校数学で出てきました。

$\xi \left ( s \right )= 1+\frac{1}{^{^{x^2}}}+\frac{1}{^{^{x^3}}}+\frac{1}{^{^{x^4}}}+\frac{1}{^{^{x^5}}}\cdot \cdot \cd\ \cdot \varphi \left ( s \right )= 1-\frac{1}{^{^{x^2}}}+\frac{1}{^{^{x^3}}}-\frac{1}{^{^{x^4}}}+\frac{1}{^{^{x^5}}}\cdot \cdot \cdot$

$\zeta \left ( s \right )-\varphi \left ( s \right )= 2\times\left \{ \left ( \frac{1}{2^s} \right ) \left +\left ( \frac{1}{4^s} \right )\ +\left ( \frac{1}{6^s} \right )+\left ( \frac{1}{8^s} \right )+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \right \} \right$

$= 2\times \left \frac{1}{2^s} \left \{ }{ \left ( 1+\left ( \frac{1}{2^s} \right )+\left ( \frac{1}{3^s} \right )+\left ( \frac{1}{4^s} \right )+\left ( \frac{1}{5^s} \right )+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \right \}$

$=2\times \frac{1}{2^s}\left \{ \zeta \left ( s \right ) \right \}$

$\varphi \left ( -1 \right )=-3\zeta \left ( -1 \right )$ 　になります。高校数学で出て来た式を二乗すると

$1+2x+3x^2+4x^2+5x^2+\cdot \cdot \cdot \cdot = \frac{1}{\left ( 1-x \right )^2}$

この式に-1を代入すると

$\varphi \left ( -1 \right )= -3$ 　つまり

$\zeta \left ( -1 \right )= 1+2+3+4+5+6\cdot \cdot \cdot \cdot =- \frac{1}{12}$

注意事項）高校で出てくる等比数列の収束範囲は-１＜ｘ＜１であり本文の記述には誤りがある。しかしながら、ゼーター関数での収束域はRE(S)>1であり収束範囲に注意をする必要があり、また、ここにこそ解析接続の価値がでる。尚もちろん無限も1+2+3+4+5+・・・の答えであり、これは物理で現れる発散の問題における組み込み理論であると考えると面白い。

また、ゼーター関数の中の＆記号のは意味はない。消すことができませんでした。すみません。

2014-04-09

苦手な数学書を読むコツ

以前は、どうして公理、定義、定理、証明、定義、定理、証明のﾙｰﾌﾟ

にはまってしまい、投げ出すと言うパターンを繰り返していました。

これは、ブルバギの影響を受けているのです。

これには意味があるのです。ブルバギを紹介している本を読んでみて下さい。

定義は定められた約束事であり、基本どうしてこの定義なのか？

は考えない？以前はそれを理解しないと前に進めなかった。

定義・定理・証明はまあこんなものか？と受け流す。

だいたいこんな事を言っているのか？

と言う事が分かればいいです。

それでも、チンプンカンプンの時は

基本用語についての知識がまるでない場合です。

数学用語辞典（初版の方が分からせようと書いてあるらしい）

を孫引きしてみる。

後ろの参考文献に目を通してみる。

その参考文献の参考文献を見るか、図書館などで借りると

分かりやすい本を、シールで示してくれたり、書いてあるものがあります。

世の中には、なんていい人がいるのでしょう！

私もそれができるように頑張りたいです。

定義が分かりにくければ、例を見る。

例がなければ、例を考えてみる。

証明を見ることは、基本あとまわしでいい、

証明を見ることによって分かる事もあります。

完全な証明を求める事は、危険な時がある。

以前は、これにはまってしまい撃沈していた。

その本のくせを知っておく方が方がいい。

はじめにを読んでおく、例えば、岩波の現代数学を読む前に「現代数学の広がり」

を読んでおくすると、

現代数学の本の内容と意図が1の初めに書かれてある。

最初は苦しいが、ひとつの単語からいろんな事が考えられるようになると楽しくなる。

やさしい本が突破口になって、難しいところが理解できる時がある。

難しい本の、奥の深さに静かに感動できる時がある。

羅列されている本は、参考書、良くまとめられている

例えば、「圏論の基礎」マックレーンなど

一緒に頑張りましょう。。。

2014-01-20

これまで、コホモロジーを対象にしていましたが、思う事

コホモロジーと層とベクトル束と多様体は繋がっています。

どう繋がっているのか？述べる方法にふたとうりあると思います。

ひとつは、ベクトル束は、層の化身であり、コホモロジーは層係数コホモロジーとして

多様体は、層とベクトル束の貼り付け機能として存在します。

ベクトル束は、構造群を持ち、いろいろな構造を入れることによって、弱い力強い力も

表せます。層係数コホモロジーは、完全系列を持つことによって、解析的分析ができます。

もうひとつ考えられるのが、各概念を圏論で定義し直し、圏論として、どんな関係があるのか？見る事です。残念ながら、想像はできるのですが、力不足で分かっていません。

どなたか教えて頂けないでしょうか？やさしくおおまかに・・・

とは言っても、圏論の各概念を知っていないのでそこからですね・・・

圏論として、統一的に見る事にはなにか意味があるでしょうか？

それによって新しい概念でしょうか？モチーフなのでしょうか？

2014-01-03

コホモロジーにおける発展的解釈

命題A コホモジー H=Z/Bは、Zの要素のうちＢでない集合全体を表す。

これを解説していく

Bは同値関係を作るはたらき・性質をもっている。例えば、ホモロジー群の場合は、

境界サイクルである。同値関係は同一視することであり、境界と言う性質を無視する事である。言い換えれば、境界のないものを指す。

例えば、自然数を７で割る場合の余りが２であるものは、9・16・23・30・・・を同じものと考えると、７で割ると言うはたらきを無視することと、７で割れないもの余り2になるものを集めるとは同じ作用であり、結局、１から6までの集合になってしまう。

つまり、７で割れない集合全体を表し、働きが境界の場合、境界でないもの全体の集合になる。

ここで面白いのは、同値類の解釈を命題Aで表現できるようになった事である。

ここで、境界のないサイクルとは、ベッチ数になることが分かる。

ここの解釈ができると、コホモロジーは、ベッチ数とつながりオイラー数とつながり

リーマンロッホの定理も見えてくる事が分かる。

この解釈を楽しむことができればいいのですが・・・

そして、同値類は、ちがいやズレなども表す事ができる。

また、空間のねじれも表してくれるとってもお得な概念なのである。

ちがいやズレは、代表元の数でわかるし、これは、イデアル類数でも使われる。

ねじれは、メビウスの輪をコホモロジーで表せば良いと見る。

今回の表現は分かりずらいかも知れません。

訂正・補足して下さい。

なお、このように書いてくれている本は、数少ないと思われる。

その意味で、価値があると思っている。