henjin2's diary

二項関係を用いた-1/12の求め方

今まで、式変形、積分表示による-1/12を求めてきたが、関数等式での方法がある。それに、つけて二項関係を用いた-1/12を求めてみよう。

$\delta \left ( s \right )= 1+\sum_{n=1 }^{\infty }x^{-s}\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{-s}$

$\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{-s}= \sum_{k=0}^{\infty }\left \binom{-s}{k}n^{-k}$

$\zeta \left ( s \right )= 1+\sum_{n=-1}^{\infty }n^{-s}\sum_{n=1}^{\infty }\binom{-s}{k}n^{-k}$

$\zeta \left ( s \right )= 1+\sum_{k=0}^{\infty }\binom{-s}{k}\sum_{n=1}^{\infty }n^{-s-k}$

$\zeta \left ( -s \right )= 1+\sum_{k=0}^{\infty }\binom{-s}{k}\zeta \left ( s+k \right )$

ここで、ｋ＝0とｋ＝1だけを取り出す。

$\zeta \left ( s \right )= 1+\zeta \left ( s \right )-s\zeta \left ( s+1 \right )+\sum_{k=2}^{\infty }\binom{-s}{k}\zeta \left ( s+k \right )$

両辺からゼーター(s)を引き、ゼーター（ｓ+1）について解く $\zeta \left (s+1 \right )= \frac{1}{s}+\frac{1}{s}\sum_{k=2}^{\infty }\binom{s}{k}\zeta \left ( s+k \right )$

sをs-1に置き換えて

$\zeta \left ( s \right )= \frac{1}{s-1}+\frac{s}{2}\zeta \left ( s+2 \right )-\frac{(s+1)(s+2)}{6}\zeta \left ( s+2 \right )$

その後、式変形を加えて $\zeta \left ( s \right )= 1+\frac{2^{1-s}}{s-1}+\frac{s}{2}\left ( \zeta \left ( s+1 \right )-1 \right )-\frac{s(s+1)}{6}\left ( \zeta \left ( s+2 \right )-1 \right )\cdot \cdot \cdot \cdot$

ここで

$\lim_{s=1}\left ( s-1 \right )\zeta \left ( s \right )= 1\rightarrow \left ( a \right )$

$\zeta \left ( 0 \right )= 1-2+\frac{1}{2}= -\frac{1}{2}\rightarrow\left ( b \right )$

(a) (b) を用いて

$\zeta \left ( -1 \right )= 1-\frac{4}{-2}-\frac{1}{2}\left\left ( -(\frac{1}{2}) \right-1 \right )-\frac{-1}{6}= -\frac{1}{12}$

このゼーター関数の特殊値は、弦理論の次元決定、カシミール効果における次元との関わり、原子核のエネルギー遷移などと関係しそのように見ると物理学者も目が離せなくなる。