henjin2's diary

ゼーター関数が-1/12になる、積分表示による求め方

$\Gamma \left ( s \right )= \int_{0}^{\infty }{t^\left ( s-1 \right )}{e^\left ( -1 \right )}dt$

この式（ガンマ関数オイラーが発見する。）を式変形します。

$\int_{0}^{\infty }t^{s-1}e^{-nt}dt= n^{-s}\int_{0}^{\infty }\left ( nt \right )^se^{-nt}\frac{dt}{t}= n^{-s}\int_{0}^{\infty }\tau ^{-s}e^{-\tau }\frac{d\tau }{\tau }$

$=n ^{-s}\Gamma \left ( s \right )$

ここでnに1から無限までたせばゼーター関数になる事が分かります。

また、第三式は　タウ＝ntで変数変換している。みごとである。

$\int_{0}^{\infty }t^{s-1}\left\left ( \sum_{n=1}^{\infty }e ^{-nt} \right )dt=\left\left ( \sum_{n=1}^{\infty }n ^{-s} \right )\Gamma \left ( s \right )$

つまり

$\int_{0}^{\infty }\frac{t^s-1}{e^t-1}dt= \xi \left ( s \right )\Gamma \left ( s \right )$

ここで解析接続を行う。そしてベルヌイ数に書き換えてやる。なんと巧みな $\delta \left ( s \right )= \frac{1}{\Gamma \left ( s \right )}\int_{1}^{\infty }\frac{{t^{s-1}}}{e^t-1}dt+\frac{1}{\Gamma \left ( s \right )}\int_{0}^{1}t^{s-2}\frac{t}{{e^{t}}-1}dt$

$=\frac{1}{\Gamma \left ( s \right )} \int_{1}^{\infty }\frac{t^{s-1}}{e^{x}-1}dt+\frac{1}{\Gamma \left ( s \right )}\int_{0}^{1}t^{s-2}\left ( \sum_{k=0}^{K} \frac{B_{k}}{k!} \right )dt+\frac{1}{\Gamma \left ( s \right )}\int_{0}^{1}t^{s-2}\left (\frac{t}{e^{x}-1}- \sum_{k=0}^{K} \frac{B_{k}}{k!} \right )dt$

ここでガンマ関数の性質を使って、書き砕いてみる。すみませんここは端をおる。 $I_{1}= \int_{1}^{\infty }\frac{t^{s-1}}{e^{t}-1}dt$

$I_{2}\left&space;(&space;S&space;\right&space;)= \int_{0}^{1}t^{s-2}\left ( \sum_{k=0}^{K} \frac{B_{k}}{}{k!}t^k \right )dt= \sum_{k=0}^{K}\frac{B_{k}}{k!(s+k-1)}$

$\int_{0}^{1}t^{s-2}t^{k}dt= \left [ \frac{t^{s+k-1}}{s+k-1} \right ]_{0}^{1}= \frac{1}{s+k-1}$

に注意すること

$I_{3}\left ( S \right )= \int_{0}^{1}t^{s-2}\left ( \frac{t}{e^{t}-1}-\sum_{k=0}^{K}\frac{B_{k}}{k!}t^{k} \right )dt$

ここでI1とI2はI3(S)と同様にｓの関数で、Rec(s)>-Kにおいて正則な関数である。これは、ベルネイ数を用いて、解析接続した結果である。したがって、

$\delta \left ( s \right )= \frac{I_{1}\left (s \right )+I_{2}\left ( s \right )+I_{3}\left ( s \right )}{\Gamma \left ( s \right )}$

たとえばＫ＝4とすると

$I_{2}\left ( S \right )= \frac{B_{0}}{ s-1 \right )}+\frac{B_{1}}{s}+\frac{B_{2}}{2\left ( S+1 \right )}+\frac{B_{4}}{24\left ( S+3 \right )}$

$= \frac{1}{s-1}-\frac{1}{2s}+\frac{1}{12\left ( s+1 \right )}-\frac{1}{720\left ( s+3 \right )}$

$\frac{I_{2}\left ( s \right )}{\Gamma \left ( s \right )}= \frac{1}{\left ( s-1 \right )\Gamma \left ( s \right )}-\frac{\left ( s+1 \right )\left ( s+2 \right )\left ( s+3 \right )}{2\Gamma \left ( s+1 \right )}+\frac{s\left ( s+2 \right )\left ( s+3 \right )}{12\Gamma \left ( s+4 \right )}-\frac{s\left ( s+1 \right )\left ( s+2 \right )}{720\Gamma \left ( s+4 \right )}$

s=-1で1/Γ（ｓ）がゼロになるのを使うと

$\delta \left ( -1 \right )= \frac{\left ( -1 \right )\cdot 1\cdot 2}{12\Gamma \left ( 3 \right )}= -\frac{1}{12}$

注意　Rec(s)>＞-Kについては、-Ｋ＜RECなら発散する。Γ（ｓ）の細かな計算は、読者にまかせる。以上で、積分表示による、解析接続されたゼーター関数の計算を終わります。ベルヌイ数によるみごとな式変形と収束域が広がったのを感じとってもらいたい。

これの点訳を試みる。また、この式の巧妙さと解析接続の不思議を感じる。

-Ｋ＜REC(s)なら発散するは無限和からKまでを引いたと考えればわかる。