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コホモロジーにおける発展的解釈

命題A コホモジー H=Z/Bは、Zの要素のうちBでない集合全体を表す。

 

これを解説していく

Bは同値関係を作るはたらき・性質をもっている。例えば、ホモロジー群の場合は、

境界サイクルである。同値関係は同一視することであり、境界と言う性質を無視する事である。言い換えれば、境界のないものを指す。

 

例えば、自然数を7で割る場合の余りが2であるものは、9・16・23・30・・・を同じものと考えると、7で割ると言うはたらきを無視することと、7で割れないもの余り2になるものを集めるとは同じ作用であり、結局、1から6までの集合になってしまう。

つまり、7で割れない集合全体を表し、働きが境界の場合、境界でないもの全体の集合になる。

 

ここで面白いのは、同値類の解釈を命題Aで表現できるようになった事である。

ここで、境界のないサイクルとは、ベッチ数になることが分かる。

 

ここの解釈ができると、コホモロジーは、ベッチ数とつながりオイラー数とつながり

リーマンロッホの定理も見えてくる事が分かる。

 

この解釈を楽しむことができればいいのですが・・・

そして、同値類は、ちがいやズレなども表す事ができる。

また、空間のねじれも表してくれるとってもお得な概念なのである。

 

ちがいやズレは、代表元の数でわかるし、これは、イデアル類数でも使われる。

ねじれは、メビウスの輪コホモロジーで表せば良いと見る。

 

今回の表現は分かりずらいかも知れません。

訂正・補足して下さい。

 

なお、このように書いてくれている本は、数少ないと思われる。

その意味で、価値があると思っている。