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同値類をコホモロジーで考察する。

同一視・同値類の働きについて述べてきました。

 

それで、同値類の性質について考えてみます。

Gを群集合としHをその部分群集合とします。

G=Hの時 G/Hは、空集合{0}です。

H=0の時 G/Hは、G自体G/H=Gになります。

 

G=Hの時、完全系列と言います。G/Hも群、コホモロジーも群なので

コホモロジー群をG/Hで定義します。すると、同値類の性質から、

コホモロジーG/Hが{0}の時、完全系列です。

 

コホモロジーポアンカレー双対空間がホモロジーになり、

ポアンカレー双対空間はベッチ数の対称性を言います。(おおまかに言えば)

ベッチ数とは、おおまかに言えば、空間の穴です。

つまり、コホモロジー群が{0}は、おおまかに言えば空間の穴がないと言っています。

 

この空間を解空間と見ると、

全空間にわたって解が存在している事をつかむ事ができます。

 

このように、同値類は、コホモロジーをとうして、解の存在、解空間、関数空間

準同型・同型)などに当てはめて解けるかどうかの第一条件を調べます。

 

(A)なぜ、完全系列を使うか?は、同型が使えるからです。

(B)なぜ、コホモロジー群をG/Hで定義するのか?同値類の特性を生かすためです。

 

コホモロジー群の計算を行えば、解の存在空間(次元から)についてわかります。

 

(A),(B)について、やさしく説明されている本は私の見る限りではありません

でした、あまりにも明白であるから書かれていないか?

その理由について、私の独断を手記します。よければ読んで下さい。

コホモロジーは導来圏・スキーム・モチーフ・層、などとならぶ重要概念です。

ベェイユは嫌ったそうであるが、今では必修科目になっている。

追記:コホモロジー加群・ベクトル空間で考えると線形方程式・線形微分方程式

使えそうである。

 第一ベッチ数については、穴ひとつについて2がカウントされ、

一次元コホモロジーは、球面で、空集合になり、トーレスでZ×Zになる。