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同値類のはたらき

目つけとは、プロ野球の選手が打つ時に高めに目つけすると、

高めに強くなり、低めに弱くなる。これと同じように数学も

どの視点から数学概念をながめるかによって、解決がたやすくなったり、

難しくなったりする。

いろんなところに目つけできる方が、広がる。

同値類のはたらきもいろんな角度から見れるようにする。

{同値類のはたらき}

(Ⅰ)代表元を用いて、分類する。

(Ⅱ)全体を部分によって把握し、局所化する。

(Ⅲ)点集合・元が集合であると言う概念(族)を同値類は中に含んでいる。ここがわかると同値類はすっきりする。

(Ⅳ)集合をクラス分けする。このクラスとは、ラッセルのパラドックスをうち消すために存在する。

 

イデアルを眺めると、(a)は、aの倍数を表す。余りゼロの剰余類を表す。

これを、射影空間に持ち込むと、y=nxと原点をとうる直線を点とみなす。

これも、同値類の考えが潜んでいる。

 

ひとつのベクトルは、いろんな基底をとる事ができる、これをベクトルは、基底によらないと言ってもいいか?ベクトルが代表元になり、無限の基底を持っている。

そう考えると、ベクトルも同値類によって表わされる。

 

全体でみたものを~同値関係によって、局所化する。

具体的には、思いつきませんでした。なにか良い具体例をあげて下さい。

よろしくお願い致します。