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抽象数学をやる上で重要になる同値類(剰余類)と言う概念について

同値類の説明を本で読んで下さい。ネットで引いて照らしながら読んで下さい。

 

この同値関係とは、「なっとくする群・環・体」などのようにやさしい本から参照下さい。

(1)反射性:すべての 集合SЭx に対してx~x

(2)対称性:もしX~YならばY~X

(3)推移性:もしX~YでしかもY~ZならばX~Z

であり、イ-コールを抽象化しているようにも見えます。

 

この同値関係を使って、同値類と剰余類を定義して下さい。

それは、割り算の余りを出すことの抽象化のようにも見えます。

合同式の求め方も「なっとくする群・環・体」を見て覚えて下さい。

いわいる、mod(n)の計算です。

 

そして、この同値類と言う概念は、はば広く数学全体を覆っています。

例えば

(Ⅰ)実数の概念の完備性において用いられている。

(Ⅱ)イデアルは同値類のことである。これは、デデキンドから出てきている。

(Ⅲ)相対化は、有限数体で考えることであり、これにいろいろな事が分かる。

(Ⅳ)局所化とは、大域的なものを局所で考える時に用いる。不定域イデアルなど。

(Ⅴ)商空間は、同値類を用いた、射影空間のことである。代数幾何で活躍する。

 

以上、抽象数学の重要なところには必ず出てくる事を抑えて下さい。

なお、これらを宿題にしてもよろしいでしょうか?

リクエストがあれば説明します。相対化などは完全に分かっていません。

逆に教えて下さい。よろしくお願い致します。

 

おっと忘れていました、一番大切なコホモロジー群は商群で書かれています。

その意味はまだ分かっておりません。もっとも大切なコホモロジー群です。