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抽象数学を理解するために(その2)

前々回紹介した本に、「代数学への誘い」佐武一郎(遊星社)を紹介しました。

 

30ページと31ページを見てみると、

「定義とは、一種の公理であり、それを基にして理論を展開させるもの」と言っています。

公理とは、前もって定められたものを言い、それについて哲学的に考えても無意味だと書かれて

あります。ですが、定義を理解するため、定義の数学的イメージを私は考えてしまいました。

それが、誤りだったのです。

 

定義を理解しないまま進むと、ますます理解できなくなり、深い霧の中にいることになったのです。

その経験から、まず定義を理解しよう、イメージとして捉えようとしたのです。

しかし、抽象化された定義は、いくつかの数学概念の共通部分を表現したのもであり

イメージする事に無理があったのです。抽象化されていない定義はイメージ化する事は、

非常に、有益なことです。

しかし、いったん抽象化された定義を理解する事はおいておくのです。(うのみにする)

そして、その定義の下にある数学概念を、少しやさしい本を読みあさるのです。

 

そして、しばらく時間をおくと、抽象化された定義が頭に自然に入る準備ができるのです。

少しやさしい本にめぐり会うのは並大抵のことではありません。

諦めずに、本を探しまくるのです。

私は、自分で考えて、定義を理解する能力などありませんから、この方法しかないのです。

 

丁寧に書かれてあり、解説もある本を紹介しておきます。

岩波の現代数学の基礎です。複素幾何、微分形式の幾何学、位相幾何、代数幾何が

「層」を理解するには適しています。それだけではだめで、解説が書いてある本を探します。

「ガウス和・ポワンカレ和」「コホモロジー」「現代数学の土壌」などです。

ただ、定義の羅列しされた本は、参考書として見ます。

コホモロジーのこころ」「トポス・層・圏論」などは、かなり馴れてから読むべき本だと思います。

 

このように、読む順番を間違えると大変苦労することになります。

この辺にも、抽象数学の難しさがあります。

定義・公理を約束ごと、前もって決められた事とすると書いてある本は、

私が、紹介した本以外見たことがありません。

このあたりにも、抽象数学を理解する難しさがあると思います。

 

ご意見よろしくお願いいたします。