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大きさの無い点を無限個集めて数直線になる!とはどう言う事か?

大きさのないものを無限個集めても量とか長さになるのでしょうか?

私が、大学時代、カントールもボレルもルベーグも知らない時代に頭を悩ませました。

 

大きなのないものを無限個集めても数直線にはなりません。

そこで、カントールは、部分集合を無限集合として、無限を積極的に取り入れました。

ここで部分集合を点と考えると上手く行く事に気づきませんか?

そうです、ここで数直線を上手く説明するために、点集合・集合の集合・元としての集合など

表現は違いますが、あるときは点を集合と考え、ある時は、集合を点と考えるのです。

これはもはや、実体がない考え(概念)と考えるべきであることを意味します。

量子力学で運動量を二回変微分と考え、ものをことに置き換えて考える・・・

概念として取り扱う事を要求しています。

点を集合として考える、集合を点として考えるとは、どう言う事だなんて考え出すと分からなく

なってしまいます。私はそう考えて、どつぼにハマりました。

 

ものごとを概念化して考えることによって、論理の飛躍があります。

ものごとを違う考えで考えることに抵抗を感じる人はなかなか進みません。

ここに、重要な理解できるかどうか?が隠れています。

それに気づいた人の勝ちです。

これは、同値類の考えでも起こります。代表元を点で考えたり、小グループ、

集合で考えたりするところです。ここを曖昧にしておくといつまで経ってももやもやしています。

 

数を集合として考えようする姿勢は、もうすでにイデアルの中にありました。

一度点を集合とも、とれるようになると、晴れ晴れした気分になります。

 

(まとめ)

(Ⅰ)点とか数を集合とも考える。状況に応じて。

(Ⅱ)無限集合を無限個集めて、数直線をつくる。(ボレルによって考えだされた)

(Ⅲ)その繋がり方は、共通部分のない(X,Y] 開閉集合による。

デデキントの切断より・・・

完備性は、実数の性質・本質を表す。

完備性とは、コーシー列が収束する事である。

 

完備性と数直線はどのように繋がるのでしょうか?教えて下さい。