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「100年の難問はなぜ解けたのか?」を読んで

もちろん、ポアンカレ予想の話です。 これは、ペレルマンを取材したNHKの記者による本です。 出足は、ペレルマンの研究生活がどのようなものであったかを書かれています。 次にポアンカレについて書かれてあり、彼は絵を描くのが非常にへたであった、そのあ…

二項関係を用いた-1/12の求め方

今まで、式変形、積分表示による-1/12を求めてきたが、関数等式での方法がある。 それに、つけて二項関係を用いた-1/12を求めてみよう。 ここで、k=0とk=1だけを取り出す。 両辺からゼーター(s)を引き、ゼーター(s+1)について解く sをs-1に置き換えて…

ゼーター関数が-1/12になる、積分表示による求め方

この式(ガンマ関数 オイラーが発見する。)を式変形します。 ここでnに1から無限までたせばゼーター関数になる事が分かります。 また、第三式は タウ=ntで変数変換している。みごとである。 つまり ここで解析接続を行う。そしてベルヌイ数に書き換えてや…

1+2+3+4+5+・・・・・・・・=-1/12になる理由

この式は不思議な式です。 私がこの式を初めて見たとき当然答えは、無限だと思いました。 -1/12になるなんて考えられませんでした。 では、どうして-1/12になるのか?見て行きましょう。 の時 になります。これは高校数学で出てきました。 になります。高校…

苦手な数学書を読むコツ

以前は、どうして公理、定義、定理、証明、定義、定理、証明のループ にはまってしまい、投げ出すと言うパターンを繰り返していました。 これは、ブルバギの影響を受けているのです。 これには意味があるのです。ブルバギを紹介している本を読んでみて下さい。…

これまで、コホモロジーを対象にしていましたが、思う事

コホモロジーと層とベクトル束と多様体は繋がっています。 どう繋がっているのか?述べる方法にふたとうりあると思います。 ひとつは、ベクトル束は、層の化身であり、コホモロジーは層係数コホモロジーとして 多様体は、層とベクトル束の貼り付け機能として…

コホモロジーにおける発展的解釈

命題A コホモジー H=Z/Bは、Zの要素のうちBでない集合全体を表す。 これを解説していく Bは同値関係を作るはたらき・性質をもっている。例えば、ホモロジー群の場合は、 境界サイクルである。同値関係は同一視することであり、境界と言う性質を無視する事で…

数学重要概念(層の雰囲気)

定義は表示しません。 層は、代数多様体、複素多様体などで大切な概念として活躍しています。 層の役割、箇条書きにしてみます。 (1)スマートホーンのように多機能である。 (2)大域を局所に移す(前層の働き) (3)局所を大域へ(コホモロジーを用い…

なぜ、コホモロジー群を商群で表すのか?

これは、数学者にとっては当たり前すぎて書く必要がないのかもしれない 私が見る限り、理由を書かずに、どの本も、定義するとだけ書かれている。 ここで、解釈する。本当は厳密な証明が必要なのだろうが、 おおまかに捉える。 もともと、ホモロジー群は自由…

同値類をコホモロジーで考察する。

同一視・同値類の働きについて述べてきました。 それで、同値類の性質について考えてみます。 Gを群集合としHをその部分群集合とします。 G=Hの時 G/Hは、空集合{0}です。 H=0の時 G/Hは、G自体G/H=Gになります。 G=Hの時、完全系列と言います。G/H…

同一視と言う抽象化

同一視とは、漫然とちがうものを同じとみなすと思っていましたが、 実は、同じはたらきのところを見て、あとは見ないことだったのです。 例えば、勾配ベクトルgradの偏微分のところは、成分を表し、 行列表示したベクトルに基底ベクトルを表わす行列をかけて…

同値類のはたらき

目つけとは、プロ野球の選手が打つ時に高めに目つけすると、 高めに強くなり、低めに弱くなる。これと同じように数学も どの視点から数学概念をながめるかによって、解決がたやすくなったり、 難しくなったりする。 いろんなところに目つけできる方が、広が…

抽象数学をやる上で重要になる同値類(剰余類)と言う概念について

同値類の説明を本で読んで下さい。ネットで引いて照らしながら読んで下さい。 この同値関係とは、「なっとくする群・環・体」などのようにやさしい本から参照下さい。 (1)反射性:すべての 集合SЭx に対してx~x (2)対称性:もしX~YならばY~X…

抽象数学はつまみぐいである。(その3)

その表現どうり、各数学概念に共通する概念をつまみぐいして、集合と代数を用いて、 まとめるのである。 彌永昌吉先生の「数学のまなび方」を見てみよう。 75ページに公理というものは、ある既存あるいは実存のもについての命題体系を基礎づけるためのもので…

抽象数学を理解するために(その2)

前々回紹介した本に、「代数学への誘い」佐武一郎(遊星社)を紹介しました。 30ページと31ページを見てみると、 「定義とは、一種の公理であり、それを基にして理論を展開させるもの」と言っています。 公理とは、前もって定められたものを言い、それにつ…

大きさの無い点を無限個集めて数直線になる!とはどう言う事か?

大きさのないものを無限個集めても量とか長さになるのでしょうか? 私が、大学時代、カントールもボレルもルベーグも知らない時代に頭を悩ませました。 大きなのないものを無限個集めても数直線にはなりません。 そこで、カントールは、部分集合を無限集合と…

数学における抽象化とは、なにか?(これを誤解していると非常に苦しむ事になる。)その1

これからの表現は不適切、なじみにくいと感じた方は、良い方向で理解して下さい。 私は、今まで抽象化する事とは、各数学的対象に共通する部分を抜き出す事だと思っていました。 例えば、チンとチワワとブルドックとコリーを抽象化すると「犬」になります。 …

抽象数学をはじめて困っている人必見です。

前回紹介しました。二冊の本全部読む必要はありません。 (a) 数学ビギナーズマニュアル(日本評論社)は32ページから52ページまでと70ページから96ページまででとりあえずはいいです。 32ページからは、数学用語について述べられています。 70ページからは…

抽象数学をはじめようと思う人すべてのために(数学科の学徒のために)

Rは可換環であり、その部分群をIとする。 これがイデアルの定義ですが、はじめて見たとき、なんだこりゃあたりまえの事書いてあるだけ? イデアルと言うのは、クンマーがフェルマー予想から素因数分解のところで考え出したものです。ですがこれが大変なもの…

不思議な数列 この無限数列は配列が変わっているだけでまったく同じものです。 配列が変わっただけで値が違う不思議な数列です。 おまけに配列を変えるだけですべての実数を表現できるらしいです。不思議ですね~ どうしてそんな事がわかるのでしょうか?答…

ビックデーターをどうとり扱うか?(本当は、ただの統計勉強法です。)

ここではビックデーターにどう立ち向かうかではなく。 その前の段階、統計学を一般的に学ぶにはどの本を読めば近道かを述べます。 ゼロからの統計学学習方法です。 まず、まったく知識のないものには、統計のみかた(三省堂)で統計学とは、 どういうものな…

私がどうして変人と名乗っているか?

今週のお題「名前」 私は、どうも人と感覚、感情、思いが違うように感じます。 そんな事言い出せば、誰しも人とは違うところを持ちあせていますが、 どうも、そのズレが大きいひどいように思います。 そのため、気持ちが通じなく、不快な思いをする事も多々…

どうして図や空間と同じようにふるまう多様体が必要なのか?

最初に多様体なるものを、リーマンが考え、ガウスが驚愕したとありましたが、高次元を考えるのと同様、私の胸にもやもやした当然のものとして多様体を空間に位相とか代数を組み込んだものとしか移りませんでした。しかし、抽象的な多様体の定義には、自然に…

数学のノルムについて調べました。

前回、モジュラスが商の演算に関わる話をしましたが、 モジュラスはノルムとも言い、解析的なものと数論に出てくるものがあります。解析的なものは、ベクトルの距離を思い浮かべ、数論的なものとしては、共役解の積によって定義されています。 ベルトルの長…

四元数について調べてみました。

ネットを見れば、詳しく説明されています。四元数は、3次元のベクトル解析の方が主流になりました。四次元の四元数の方が計算が大変だからです。現在、四元数は、パソコンの3次元回転やスペースシャトルの方向を決めるのにとか、いろいろ使われていますが、…

簡単な自己紹介からはじめます。よろしくお願いします。

大学は量子力学の初歩を学びました。バークレイの量子力学を読みましたが、内容が難しくて、読めば読むほど沢山疑問が湧いて来たように感じました。特に、こだわったのは、四元数でした。どうしてこのような不思議な数が出てくるのか?そして量子力学でどの…