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数学重要概念(層の雰囲気)

定義は表示しません。

層は、代数多様体複素多様体などで大切な概念として活躍しています。

 

層の役割、箇条書きにしてみます。

(1)スマートホーンのように多機能である。

(2)大域を局所に移す(前層の働き)

(3)局所を大域へ(コホモロジーを用いて大域へ)

(4)層は、コホモロジーでもあり、ベクトル束でもあり、多様体でもあります。

(このことは、圏論を用いてつなぎあう事ができます。層の公理が最初に関手が使われている事からもわかる。現在は、圏論を用いて定義される。)

(5)コサイクル条件(解の条件)によって、系列の骨組み層の準同型が保証される。

(6)コサイクル条件は、コホモロジーを使いやすくする。

(7)コホモロジー群は、障害を与え、連結を示す。(解析的な答えを与える)

 

層の応用

(1)種数の定義を層で与える。

(2)リーマン・ロッホの定理の証明を層を用いて行う。

(3)グザンの問題の証明を行う。

 

層の応用を補足して下さい。層の定義を補足して下さい。

なぜ、コホモロジー群を商群で表すのか?

これは、数学者にとっては当たり前すぎて書く必要がないのかもしれない

 

私が見る限り、理由を書かずに、どの本も、定義するとだけ書かれている。

ここで、解釈する。本当は厳密な証明が必要なのだろうが、

おおまかに捉える。

 

もともと、ホモロジー群は自由加群である。

n1σ1+n2σ2+n3σ3+・・・+nrσr

で表され、nは整数、σは単体(基底)を表す。

 

イデアルを勉強していれば、すぐにこれは、イデアルの形であることに気づく

そして、イデアルは同値類でもある。

 

そして、同値類は、局所化できることから、ベクトル束、不定域イデアルにもつながる

同値類は、商群です。ホモロジー群はコホモロジー群の双対空間です。

 

イデアルをとうして、コホモロジー群は商群になる。

 

ker f/ im fになることを証明ないといけない?

これが、できていない。

 

厳密な証明はできない、それか自明なのだろうか?

とりあえず自己満足している。

できれば、補足お願いします。よろしくお願いします。

 

補足します。普遍係数定理やベクトル束から、コホモロジーの定義するのが

正当なのかもしれません。

 

 

同値類をコホモロジーで考察する。

同一視・同値類の働きについて述べてきました。

 

それで、同値類の性質について考えてみます。

Gを群集合としHをその部分群集合とします。

G=Hの時 G/Hは、空集合{0}です。

H=0の時 G/Hは、G自体G/H=Gになります。

 

G=Hの時、完全系列と言います。G/Hも群、コホモロジーも群なので

コホモロジー群をG/Hで定義します。すると、同値類の性質から、

コホモロジーG/Hが{0}の時、完全系列です。

 

コホモロジーポアンカレー双対空間がホモロジーになり、

ポアンカレー双対空間はベッチ数の対称性を言います。(おおまかに言えば)

ベッチ数とは、おおまかに言えば、空間の穴です。

つまり、コホモロジー群が{0}は、おおまかに言えば空間の穴がないと言っています。

 

この空間を解空間と見ると、

全空間にわたって解が存在している事をつかむ事ができます。

 

このように、同値類は、コホモロジーをとうして、解の存在、解空間、関数空間

準同型・同型)などに当てはめて解けるかどうかの第一条件を調べます。

 

(A)なぜ、完全系列を使うか?は、同型が使えるからです。

(B)なぜ、コホモロジー群をG/Hで定義するのか?同値類の特性を生かすためです。

 

コホモロジー群の計算を行えば、解の存在空間(次元から)についてわかります。

 

(A),(B)について、やさしく説明されている本は私の見る限りではありません

でした、あまりにも明白であるから書かれていないか?

その理由について、私の独断を手記します。よければ読んで下さい。

コホモロジーは導来圏・スキーム・モチーフ・層、などとならぶ重要概念です。

ベェイユは嫌ったそうであるが、今では必修科目になっている。

追記:コホモロジー加群・ベクトル空間で考えると線形方程式・線形微分方程式

使えそうである。

 第一ベッチ数については、穴ひとつについて2がカウントされ、

一次元コホモロジーは、球面で、空集合になり、トーレスでZ×Zになる。

 

 

 

同一視と言う抽象化

同一視とは、漫然とちがうものを同じとみなすと思っていましたが、

 

実は、同じはたらきのところを見て、あとは見ないことだったのです。

 

例えば、勾配ベクトルgradの偏微分のところは、成分を表し、

行列表示したベクトルに基底ベクトルを表わす行列をかけても成分がでます。

ですから、偏微分と行列は、この意味で同一視できます。

 

テンソルは、行列だと書いてある本と、共変微分であると書いてある本がありますが、

両方とも、ベクトル空間に持ち上げて、多重線形性であるとすれば、同一視できます。

 

代数幾何で、座標環と複素数は、同型?で同一視できると思います。

 

位相空間において、開集合による族を用いた定義と近傍と言う集合を用いた定義が同一視できます。これによって、ハウスドウルフは一気に抽象化を駆け上った。

 

空間(定義域)と関数全体の集合とを同一視する、おっとこれは、双対定理として見る

方がいいのでしょう?

 

射影空間では、比が同じものを同一視する。

 

これは、まだ分かっていないが、方程式と解を準同型・同型で同一視するらしい。

 

分かっていないものまであげてしまったが、研究は待ってくれない、早く到達しなければいけないところなのか?梶原は、18歳の時にセールの本を読んでいたと聞く。

 

 

 

同値類のはたらき

目つけとは、プロ野球の選手が打つ時に高めに目つけすると、

高めに強くなり、低めに弱くなる。これと同じように数学も

どの視点から数学概念をながめるかによって、解決がたやすくなったり、

難しくなったりする。

いろんなところに目つけできる方が、広がる。

同値類のはたらきもいろんな角度から見れるようにする。

{同値類のはたらき}

(Ⅰ)代表元を用いて、分類する。

(Ⅱ)全体を部分によって把握し、局所化する。

(Ⅲ)点集合・元が集合であると言う概念(族)を同値類は中に含んでいる。ここがわかると同値類はすっきりする。

(Ⅳ)集合をクラス分けする。このクラスとは、ラッセルのパラドックスをうち消すために存在する。

 

イデアルを眺めると、(a)は、aの倍数を表す。余りゼロの剰余類を表す。

これを、射影空間に持ち込むと、y=nxと原点をとうる直線を点とみなす。

これも、同値類の考えが潜んでいる。

 

ひとつのベクトルは、いろんな基底をとる事ができる、これをベクトルは、基底によらないと言ってもいいか?ベクトルが代表元になり、無限の基底を持っている。

そう考えると、ベクトルも同値類によって表わされる。

 

全体でみたものを~同値関係によって、局所化する。

具体的には、思いつきませんでした。なにか良い具体例をあげて下さい。

よろしくお願い致します。

 

 

抽象数学をやる上で重要になる同値類(剰余類)と言う概念について

同値類の説明を本で読んで下さい。ネットで引いて照らしながら読んで下さい。

 

この同値関係とは、「なっとくする群・環・体」などのようにやさしい本から参照下さい。

(1)反射性:すべての 集合SЭx に対してx~x

(2)対称性:もしX~YならばY~X

(3)推移性:もしX~YでしかもY~ZならばX~Z

であり、イ-コールを抽象化しているようにも見えます。

 

この同値関係を使って、同値類と剰余類を定義して下さい。

それは、割り算の余りを出すことの抽象化のようにも見えます。

合同式の求め方も「なっとくする群・環・体」を見て覚えて下さい。

いわいる、mod(n)の計算です。

 

そして、この同値類と言う概念は、はば広く数学全体を覆っています。

例えば

(Ⅰ)実数の概念の完備性において用いられている。

(Ⅱ)イデアルは同値類のことである。これは、デデキンドから出てきている。

(Ⅲ)相対化は、有限数体で考えることであり、これにいろいろな事が分かる。

(Ⅳ)局所化とは、大域的なものを局所で考える時に用いる。不定域イデアルなど。

(Ⅴ)商空間は、同値類を用いた、射影空間のことである。代数幾何で活躍する。

 

以上、抽象数学の重要なところには必ず出てくる事を抑えて下さい。

なお、これらを宿題にしてもよろしいでしょうか?

リクエストがあれば説明します。相対化などは完全に分かっていません。

逆に教えて下さい。よろしくお願い致します。

 

おっと忘れていました、一番大切なコホモロジー群は商群で書かれています。

その意味はまだ分かっておりません。もっとも大切なコホモロジー群です。

 

抽象数学はつまみぐいである。(その3)

その表現どうり、各数学概念に共通する概念をつまみぐいして、集合と代数を用いて、

まとめるのである。

 

彌永昌吉先生の「数学のまなび方」を見てみよう。

75ページに公理というものは、ある既存あるいは実存のもについての命題体系を基礎づけるためのものではなく、むしろ積極的に、人為的に設定してそこから自由に体系を創造してゆこうと言う立場である。

 

私は、公理と言うものは、数学者が地道に、真理を求めて、深い研究の結果できたもの

だと思っていました。

 

しかし、そう言うものだけではないのです。こことここの共通するところを取ってきて

公理としてみよう、そうするとどうなるだろう?と設定していいのです。

 

優れた公理はのこり、つまらない公理は、捨て去られる。

 

そう言うふうに考え直したのです。すると厳書に書かれた抽象的公理が入りやすくなります。

それから、ひとつ下のやさしい表現をしている本に出会えれば抽象的公理にイメージがわくようになります。自分で考えだすとは、かなり他の本を読み込んだか?

脳がちがうのでしょう・・・

 

「数学のまなび方」にある、抽象的なものを具体化するの意味は、集合論を図にする事を意味しています。ですから、抽象的な定義・公理をいきなりイメージ化しようとする事は、危険なことです。かなりの周辺知識をもっていないと、抽象のわなにはまり、

 

数学をはなれる事につながるのです。ご注意あれ!