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抽象数学を理解するために(その2)

前々回紹介した本に、「代数学への誘い」佐武一郎(遊星社)を紹介しました。

 

30ページと31ページを見てみると、

「定義とは、一種の公理であり、それを基にして理論を展開させるもの」と言っています。

公理とは、前もって定められたものを言い、それについて哲学的に考えても無意味だと書かれて

あります。ですが、定義を理解するため、定義の数学的イメージを私は考えてしまいました。

それが、誤りだったのです。

 

定義を理解しないまま進むと、ますます理解できなくなり、深い霧の中にいることになったのです。

その経験から、まず定義を理解しよう、イメージとして捉えようとしたのです。

しかし、抽象化された定義は、いくつかの数学概念の共通部分を表現したのもであり

イメージする事に無理があったのです。抽象化されていない定義はイメージ化する事は、

非常に、有益なことです。

しかし、いったん抽象化された定義を理解する事はおいておくのです。(うのみにする)

そして、その定義の下にある数学概念を、少しやさしい本を読みあさるのです。

 

そして、しばらく時間をおくと、抽象化された定義が頭に自然に入る準備ができるのです。

少しやさしい本にめぐり会うのは並大抵のことではありません。

諦めずに、本を探しまくるのです。

私は、自分で考えて、定義を理解する能力などありませんから、この方法しかないのです。

 

丁寧に書かれてあり、解説もある本を紹介しておきます。

岩波の現代数学の基礎です。複素幾何、微分形式の幾何学、位相幾何、代数幾何が

「層」を理解するには適しています。それだけではだめで、解説が書いてある本を探します。

「ガウス和・ポワンカレ和」「コホモロジー」「現代数学の土壌」などです。

ただ、定義の羅列しされた本は、参考書として見ます。

コホモロジーのこころ」「トポス・層・圏論」などは、かなり馴れてから読むべき本だと思います。

 

このように、読む順番を間違えると大変苦労することになります。

この辺にも、抽象数学の難しさがあります。

定義・公理を約束ごと、前もって決められた事とすると書いてある本は、

私が、紹介した本以外見たことがありません。

このあたりにも、抽象数学を理解する難しさがあると思います。

 

ご意見よろしくお願いいたします。

大きさの無い点を無限個集めて数直線になる!とはどう言う事か?

大きさのないものを無限個集めても量とか長さになるのでしょうか?

私が、大学時代、カントールもボレルもルベーグも知らない時代に頭を悩ませました。

 

大きなのないものを無限個集めても数直線にはなりません。

そこで、カントールは、部分集合を無限集合として、無限を積極的に取り入れました。

ここで部分集合を点と考えると上手く行く事に気づきませんか?

そうです、ここで数直線を上手く説明するために、点集合・集合の集合・元としての集合など

表現は違いますが、あるときは点を集合と考え、ある時は、集合を点と考えるのです。

これはもはや、実体がない考え(概念)と考えるべきであることを意味します。

量子力学で運動量を二回変微分と考え、ものをことに置き換えて考える・・・

概念として取り扱う事を要求しています。

点を集合として考える、集合を点として考えるとは、どう言う事だなんて考え出すと分からなく

なってしまいます。私はそう考えて、どつぼにハマりました。

 

ものごとを概念化して考えることによって、論理の飛躍があります。

ものごとを違う考えで考えることに抵抗を感じる人はなかなか進みません。

ここに、重要な理解できるかどうか?が隠れています。

それに気づいた人の勝ちです。

これは、同値類の考えでも起こります。代表元を点で考えたり、小グループ、

集合で考えたりするところです。ここを曖昧にしておくといつまで経ってももやもやしています。

 

数を集合として考えようする姿勢は、もうすでにイデアルの中にありました。

一度点を集合とも、とれるようになると、晴れ晴れした気分になります。

 

(まとめ)

(Ⅰ)点とか数を集合とも考える。状況に応じて。

(Ⅱ)無限集合を無限個集めて、数直線をつくる。(ボレルによって考えだされた)

(Ⅲ)その繋がり方は、共通部分のない(X,Y] 開閉集合による。

デデキントの切断より・・・

完備性は、実数の性質・本質を表す。

完備性とは、コーシー列が収束する事である。

 

完備性と数直線はどのように繋がるのでしょうか?教えて下さい。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

数学における抽象化とは、なにか?(これを誤解していると非常に苦しむ事になる。)その1

これからの表現は不適切、なじみにくいと感じた方は、良い方向で理解して下さい。

私は、今まで抽象化する事とは、各数学的対象に共通する部分を抜き出す事だと思っていました。

例えば、チンとチワワとブルドックとコリーを抽象化すると「犬」になります。

数学においても数学概念各々(対象)に共通する概念、言葉、記号を選んでくる事を抽象化する

と思い込んでいました。

それに加えて、共通部分以外を考えない、無視すると言うことを知らなかったのです。

そのため、抽象的な、定義、公理を見ると、その抽象的な定義・公理はどのようなイメージ

(具体例)がもとになっているのか?必死で考えたのです。

 

なかなか具体的なイメージを思いつくには、広く深くその概念の周辺を知り尽くしていないと、

しっくりきません。そのイメージをつかもうと必死になり疲れ果てて読めなくなるのです。

 

それは、非常に危険な行為だったのです。

なぜなら、抽象化された、定義・公理は多義語であり、意味のない定義・公理であり

どの空間で、どの範囲で、どの次元で、どの土壌、どの方向で考えるかによって、変わっていくのもなのです。ですから、各本によって言ってる事が違う定義がいっぱいあるのです。

 

テンソルなどを見ると各本によって表現がちがいます。でもテンソルの抽象化された定義は

多重線形にあります。私はまた、この違う定義は同じものから出ているのだから、

違う定義どうしを直接結ぼうとしたのです。これはやってはいけない事だったのです。

 

一番大本の多重線形にもどして、ちがう定義に降りるのはありです。しかし違う定義どうしを

直接つなごうとすると無理が生じます。それを私は脳が擦り切れるまでしてしまったのです。

 

ここでやさしく説明しようとすると逆に難しくなる事に気がつきました。

【まとめ】

抽象化とは、数学的対象から注目すべき要素を重点的に抜き出して他は無視する方法です。

 

たてまえとしては、抽象的な定義・公理からイメージ(本質)を考えだそうとしてはいけないのです。

違う定義どうしを直接つなごうとする事もいけないのです。抽象化と言うのは、各違う概念の共通部分を抜き出しているので、それをひっつけることは無理があるのです。

 

そのような、間違いをおかしたのは、抽象化の曖昧な理解によるのです。

 

以上、次は抽象的な定義を理解しようとすればするほど分からなくなる事を示します。

 

 

 

 

抽象数学をはじめて困っている人必見です。

前回紹介しました。二冊の本全部読む必要はありません。

(a) 数学ビギナーズマニュアル(日本評論社)は32ページから52ページまでと70ページから96ページまででとりあえずはいいです。

32ページからは、数学用語について述べられています。

70ページからは、シォルンの捕題とかありますが、最初は読み流しましょう。

それより、なぜ数学書は、公理→定義→定理→証明→定理と言う流れになるのか?これはユークリッドの原論に従っているのです。

ここには、数学の信念、明らかなものを前提として、決められたものとして公理があるのです。ですから公理は問わない、問題にしないのです。

だけどどうしてこんな公理考えたか?知りたいですよね。それが人情です。

答えにはなっていませんが、その概念の本質を見つめていると公理が見えてきます。

しかし、公理に納得できるかどうか?は明らかに分かるものとなんとなくと言う感じのものとがあります。

イデアルの場合は、同値類が隠れています。

厳密であろうとするがゆえこのような形式をとるようになってしまったのです。

それを引き継いだのが、ブルバギです。集合論で数学を統合したと言う意味では成功したと思いますが、抽象化のあまり見た目は無味乾燥してしまった。

でもこれを読み進むと気持ちが枯れ果ててしまいます。

読む気がうせてしまうのです。これを乗り切るには、多数の関連した、本を読む事と自分で考えそして時間が経つのを待ちます。

 

すると見えてくるのです。簡単なイデアルの抽象表現にある大きなドラマが、 公理→定義→定理→証明→定理しか乗せていない本はいくら読んでも分かってきません。

 

岩波の現代数学の基礎をおすすめします。これも難しいのであれば、やさしい良書が沢山あります。次の記事は抽象化について述べます。ご意見・補足お願いいたします。

すみません、改行がなくて読みにくかったですね。

やさしいい良書上げておきます。

数学の流れ30講(志賀浩二)と抽象代数の歴史(訳斉藤正彦)です。

 

抽象数学をはじめようと思う人すべてのために(数学科の学徒のために)

Rは可換環であり、その部分群をIとする。

これがイデアルの定義ですが、はじめて見たとき、なんだこりゃあたりまえの事書いてあるだけ? イデアルと言うのは、クンマーがフェルマー予想から素因数分解のところで考え出したものです。ですがこれが大変なものだったのです。イデアルを理解するのに何年かかったでしょう? 高木先生の初等整数論と言う本がありますが、あの本がイデアルの重要性を伝えています。 一生懸命手作業で整数論の証明をするのにイデアルを用いると、簡単に高みに立つことが できるのです。それは、精神が崇高なったような錯覚を覚えます。これだけ読んでときめく事はありませんが、実際に読めばわかります。抽象数学をやるのであれば最初におすすめするのは、この2冊です。(a)「数学ビギナーズマニュアル(日本評論社)」と(B)「代数学への誘い(遊星社)」 全部読めとは言いません。しかしレベルが上がっていくとありがたみが良く分かり何回も読むことになるでしょう。私は3回読みました。特に(a)の70ページから95ページまで、イデアルの事を知りたいなら、118ページから127ページまで、この本はイデアル重要性が書かれているわけではありませんが、イデアルを非常に分かりやすく書いています。今日はここまで、続きは、次の記事で書きますから、こうご期待下さい。また質問のある方はコメント欄によろしくお願いします。

不思議な数列

この無限数列は配列が変わっているだけでまったく同じものです。   配列が変わっただけで値が違う不思議な数列です。 おまけに配列を変えるだけですべての実数を表現できるらしいです。不思議ですね~ どうしてそんな事がわかるのでしょうか?答えが分かれば追記します。どなたか改行の仕方教えて下さい。よろしくお願いいたします。a-kuma3さんが教えて頂きましたありがとうございます。m(__)m 

ビックデーターをどうとり扱うか?(本当は、ただの統計勉強法です。)

ここではビックデーターにどう立ち向かうかではなく。 その前の段階、統計学を一般的に学ぶにはどの本を読めば近道かを述べます。 ゼロからの統計学学習方法です。 まず、まったく知識のないものには、統計のみかた(三省堂)で統計学とは、 どういうものなかを知ります。次に「統計のはなし」日科技連を読みます。 この辺はだいたいこんなものだと言う感じをつかんでもらえばいいと思います。 やっと本格的な本「楽しく学べる統計教室」現代数学社には、本格的な数式が出ています。 しかしながら、やさしい数式で書かれています。 それで、物足りない方は、「数理統計学」「入門数理統計学」など 深く数学に入りこんだ本があります。 もっとも、数学にのめり混みたいひとには「確率・統計入門」岩波書店をお勧めします。 この本には、どのようにしてF分布だとかカイ2乗分布ができるのか、証明が書いてあり 古い本ではありますが。もっともやっかいな本であります。 私はなんとこのもっともやっかいな本から大学時代勉強してしまいました。 おかげで、とんでもない遠まわりをしてしまいました。 本を読む順番をまちがえるととんでも無い事なります。 ひととり統計学の基本を見につけると、実験計画法、多変量解析、遺伝的アルゴリズム ノンパラメタリック法、回帰分析、有意検定など大きな原野が広がっています。 ビックデーターに立ち向かうには、ベイズ法だけでなくこれらを融合し 立ち向かうと言ってしまえば、あたりまえです。 これらの手法を全部やってみて、その成果をまた、統計学的に分析する手法など どうでしょうか?人間の直感とどっちが勝つかみものです。 最近、コンピューターが棋士に勝っています。その手法は評価関数によるものですが 人工知能ですね、量子コンピューター内臓のそれを考えましょう。