私がどうして変人と名乗っているか？

今週のお題「名前」

私は、どうも人と感覚、感情、思いが違うように感じます。

そんな事言い出せば、誰しも人とは違うところを持ちあせていますが、

どうも、そのズレが大きいひどいように思います。

そのため、気持ちが通じなく、不快な思いをする事も多々あり、

ですから、自らを変人と名乗り、自己防衛と自己を正す事を目標にしたい・・・

少しでも、自己の成長と、他者との交流が持てるよう心がけていきたいと思い

この名前にしました。変わっているなと思われるかもしれませんが、宜しくお願いします。

数学を通じて、間違っているところを教えて下さい。

どうして図や空間と同じようにふるまう多様体が必要なのか？

最初に多様体なるものを、リーマンが考え、ガウスが驚愕したとありましたが、高次元を考えるのと同様、私の胸にもやもやした当然のものとして多様体を空間に位相とか代数を組み込んだものとしか移りませんでした。しかし、抽象的な多様体の定義には、自然にいろいろなもの、平面状の直線全体とか、空間の中の平面全体、曲面上の模様全体、曲面の曲がり方全体が自然に入ります。

その抽象的な定義の特徴は、アトラスと言う地図を作る時の地図帳にあたるものが、重要である。このアトラスは、地図上すべての点をあますことなく被っている事である。ここでアトラスの定義を持ち出すと局所座標系とか族の説明などをしないといけなくなるので、多様体の特性だけを述べる。アトラスを用いて、多様体の材料を張り合わせる。その事によってどんなに入り組んでいる空間でも調べる事ができるようになる。つまり、多様体の抽象的な定義には、いろいろなものを自然に取り込み、その構造を明らかにするため、局所的な張り合わせができるようになっている。これが、今回の抽象化の目的の一部になると思う。

文章だけの表現になってしまいましたが、より具体的に本質を表現できるよう努力していきたいと思います。できれば、ご意見を頂たいです。尚、この文章は、岩波の現代数学の基礎

「微分形式の幾何学（1）第一章」の内容です。他の本をと較べてもわかりやすく丁寧に書かれてあると思います。数学は、本との出合いで大きく違ってきます。

数学のノルムについて調べました。

前回、モジュラスが商の演算に関わる話をしましたが、

モジュラスはノルムとも言い、解析的なものと数論に出てくるものがあります。解析的なものは、ベクトルの距離を思い浮かべ、数論的なものとしては、共役解の積によって定義されています。

ベルトルの長さと教えられ、そのため、ノルムの抽象的な定義を見たときはなんの役に立つの？と心に留まりませんでした。

（ノルムの抽象的な定義）

（１）｜ｘ｜＞＝0，｜ｚ｜＝0であれば　ｚ＝0

（２）｜ｚ+ｗ｜＜＝｜ｚ｜+｜ｗ｜

（３）｜ｚｗ｜＝｜ｚ｜｜ｗ｜

（４）（R,Cの完備性）　lim h,k→∞｜Zh－Zk｜　Zkは1から∞までの数列

「解析的面から見た場合」

どうしてわざわざ難しい分かりにくい定義をするのだろうと思いました。

ところが、このｘ、ｙ、ｚを行列だと思うと、なんと行列の解析性が行列の微分なるものが考えられるのです。行列の指数関数expAがべき級数展開なるものが存在でき、指数法則は、行列の指数関数について成り立ち、この指数関数の一般化（この一般化はどのように行われるのだろう？）によって、物理でも重要なリー群が出てるくとの事です。

実数を行列に置き換える、おもしろい発想ですね。すると高度なものが出てくる。いつか、行列の指数関数の一般化がリー群に繋がるのを見たいと思います。

「数論的な面から見た場合」

虚数a+biとその共役解a-biとの掛け算はa2（aの2乗）+b2（bの2乗）でルートをとれば、ベクトルと同じ長さが出てきます。それで解析と同じ名前ノルムがついていると思うのですが、数論の場合は共役解の掛け算の形になっている事に注目し、因数分解できるかどうかに使える気がします。現にクンマーは、ノルムにならない事を利用して47は素元分解不可能である事を示しました。イデアルの誕生にもノルムは役立ったと言うことです。

四元数について調べてみました。

ネットを見れば、詳しく説明されています。四元数は、3次元のベクトル解析の方が主流になりました。四次元の四元数の方が計算が大変だからです。現在、四元数は、パソコンの3次元回転やスペースシャトルの方向を決めるのにとか、いろいろ使われていますが、私が前回の記事で言いましたように、量子力学では、使われていないようです。もし使うとしても

回折格子の計算でしょうか？謝った情報になり、すみませんでした。

ハミルトンは、複素数の平面表示では満足せず、3次元の新しい数を作ろうとしました。しかし、3次元では上手くいかず。結局4次元になったと言う事です。でも、15年間も頑張れるでしょうか？四元数を作り出すと言う事は、代数の公理の拡張を意味していたのです。実数、虚数の四則演算を考え、次は当然3次元空間を表す数と数の代数構造を作ろう、そうすれば、物理で使える数をつくる事になるのではないか？

ハミルトンは、新しい数を作る事によって、代数の公理を自体をより豊かにし、他分野（物理）でも活躍できる数を考えたかったのです。

こう考えると、ハミルトンは非常に価値のある事に挑戦しなしとげたのです。

その方法は、複素数の拡張（一般化）にあります。

E1,E2,E3・・・・En　を「数を表す単位」とし

a0,a1,a2,a3・・・an を実数として

Z=a0+a1E1+a2E2+・・・・+anEn　を複素数を拡張したのもと考える。

ゆえに、a0+a1E1=a0+a1・　ｉ　でここまでが普通の複素数

そして、E2,E3・・・E4によって拡張する。

ハミルトンは複素数を（a0,a1)と考え

順序数の組と考えていたようで、それを普通に

拡張しただけです。

そして、和と差と乗法を考え、商を考えた。

w1/wが分母が、実数として計算できるようにwの共役数w*をかけた。

w×w*はモジュラスの２乗と言われる。

追記：数式まだ描けません。調べます。

八次元数とか十六次元数とかもあるそうですがどうやって調べたのでしょうね？ 

簡単な自己紹介からはじめます。よろしくお願いします。

大学は量子力学の初歩を学びました。バークレイの量子力学を読みましたが、内容が難しくて、読めば読むほど沢山疑問が湧いて来たように感じました。特に、こだわったのは、四元数でした。どうしてこのような不思議な数が出てくるのか？そして量子力学でどのように使われているのか？ところが、今見返して見ると、どこにも四元数を見つける事ができないのです。私の思い違いでしょうか？今見返すと、大切な内容を手短にすっきり分かりやすくと紹介してあり、次のより深い理解を知ろうとする意欲を湧き上げさせる名著です。どうしてこんなに良い本を売ろうとしたのか？時期が過ぎるとこんなにも感覚が変わるのでしょうか？

バークレイは、次のより深い理解を得るための参考書です。

時間を空けて本を読むと分からなかったところが、氷が解けるように

分かる時があります。これが、数学・物理に携わる喜びのひとつです。